Похідна. Застосування похідної

Похідна — одне з фундаменталь­них понять математики. Відкриттю похідної та основ диференціаль­ного числення передували роботи французьких математиків П'єра Ферма (1601—1665), який у 1629 р. запропонував способи знаходження найбільших і найменших значень функцій, проведення дотичних до довільних кривих, що фактично спиралися на застосування по­хідних, а також Рене Декарта (1596—1650), який розробив метод координат і основи ана­літичної геометрії. У 1670—1671 рр. англій­ський математик і механік Ісаак Ньютон (1643—1727) і дещо пізніше у 1673—1675 рр. німецький філософ і математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646—1716) незалежно один від одного побудували теорію диферен­ціального числення. І.Ньютон прийшов до по­няття похідної, розв'язуючи задачі про миттє­ву швидкість, а Лейбніц — розглядаючи геомет­ричну задачу про проведення дотичної до кри­вої. Термін «похідна» ввів у 1797 р. французький математик Жозеф Луї Лагранж (1736—1813). Він ввів і сучасні позначення для похідної у вигляді  f^./. Сам термін «по­хідна» є перекладом відповідного французько­го слова derivee, яке досить влучно пояснює зміст цього поняття: функція f'(x) у певному розумінні походить від функції f(x), тобто є похідною від неї. До Лагранжа похідну за про­позицією Лейбніца називали диференціальним коефіцієнтом і позначали dy/dx . Позначення Лейбніца чітко відображало саме походження похідної як границі відношення dy/dx .Тому його часто використовують і в сучасних курсах ма­тематичного аналізу. Ньютон, який у своїх підходах до обґрунтування математичного ана­лізу широко застосовував фізичні уявлення, похідну називав флюксією (дослівно з лати­ни — «витіканням»), а саму функцію флюентною (дослівно «текучістю»). Ці терміни Нью­тона не прижилися.

Терміни «диференціальний», «диференційо­вана», «диференціювання» тощо відобража­ють той аспект утворення поняття похідної, що пов'язаний із знаходженням різниць  f(x)-f(x₀) =D y та х—х₀ =Dx (differentia в пе­рекладі з латини означає «різниця»).

Велику роль у розвитку диференціального числення відіграв видатний математик, фізик, механік і астроном Леонард Ейлер, який написав підручник «Диференціальне числення» (1755 р.)

За допомогою диференціального числення було розв'язано багато задач теоретичної ме­ханіки, фізики та астрономії. Зокрема, викори­стовуючи методи диференціального числення, вчені передбачили повернення комети Галлея, що стало тріумфом науки XVIII ст.

Застосування похідної до розв'язування задач з фізики

Презентація "Застосування похідної" 

Матеріали по темі 

а) Знаходження екстремумів функції

б) Знаходження найменшого та найбільшого значення на відрізку

в) Побудова графіка функції

г) Дослідження функції на монотонність

Показникова та логарифмічна функції

Матеріали для роботи над темою:

Презентація "Показникова функція"

Самостійна робота "Показникова функція"

Самостійна робота "Показникова функція" (інша)

Самостійна робота "Показникові рівняння"

Самостійна робота "Логарифмічна функція"

Контрольна робота "Показникова та логарифмічна функції"

Комбінації геометричних тіл

Презентація "Комбінації тіл"

Презентація "Комбінації многогранників та кулі"

Розробка уроку "Комбінації многогранників та кулі" (Word)

Тіла обертання

Многогранники. Піраміда

Презентація "Піраміда"

Положення висоти задає властивості піраміди

Детальніше можна ознайомитись у презентації "Піраміда, всі бічні ребра якої рівні"

Детальніше ознайомись можна переглянувши презентацію "Піраміда, всі грані якої однаково нахилені до площини основи"

Детальніше ознайомитись та використати матеріал можна завантаживши презентації "Піраміда, висотою якої є її бічне ребро"  та "Піраміда, одна з граней якої перпендикулярна до площини основи"

Многогранники. Призма

Презентація "Призма"

Презентація "Побудова перерізів многогранників"

Презентація "Правильні многогранники"

Вектори в просторі