Похідна. Застосування похідної

Похідна — одне з фундаменталь­них понять математики. Відкриттю похідної та основ диференціаль­ного числення передували роботи французьких математиків П'єра Ферма (1601—1665), який у 1629 р. запропонував способи знаходження найбільших і найменших значень функцій, проведення дотичних до довільних кривих, що фактично спиралися на застосування по­хідних, а також Рене Декарта (1596—1650), який розробив метод координат і основи ана­літичної геометрії. У 1670—1671 рр. англій­ський математик і механік Ісаак Ньютон (1643—1727) і дещо пізніше у 1673—1675 рр. німецький філософ і математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646—1716) незалежно один від одного побудували теорію диферен­ціального числення. І.Ньютон прийшов до по­няття похідної, розв'язуючи задачі про миттє­ву швидкість, а Лейбніц — розглядаючи геомет­ричну задачу про проведення дотичної до кри­вої. Термін «похідна» ввів у 1797 р. французький математик Жозеф Луї Лагранж (1736—1813). Він ввів і сучасні позначення для похідної у вигляді  f^./. Сам термін «по­хідна» є перекладом відповідного французько­го слова derivee, яке досить влучно пояснює зміст цього поняття: функція f'(x) у певному розумінні походить від функції f(x), тобто є похідною від неї. До Лагранжа похідну за про­позицією Лейбніца називали диференціальним коефіцієнтом і позначали dy/dx . Позначення Лейбніца чітко відображало саме походження похідної як границі відношення dy/dx .Тому його часто використовують і в сучасних курсах ма­тематичного аналізу. Ньютон, який у своїх підходах до обґрунтування математичного ана­лізу широко застосовував фізичні уявлення, похідну називав флюксією (дослівно з лати­ни — «витіканням»), а саму функцію флюентною (дослівно «текучістю»). Ці терміни Нью­тона не прижилися.

Терміни «диференціальний», «диференційо­вана», «диференціювання» тощо відобража­ють той аспект утворення поняття похідної, що пов'язаний із знаходженням різниць  f(x)-f(x₀) =D y та х—х₀ =Dx (differentia в пе­рекладі з латини означає «різниця»).

Велику роль у розвитку диференціального числення відіграв видатний математик, фізик, механік і астроном Леонард Ейлер, який написав підручник «Диференціальне числення» (1755 р.)

За допомогою диференціального числення було розв'язано багато задач теоретичної ме­ханіки, фізики та астрономії. Зокрема, викори­стовуючи методи диференціального числення, вчені передбачили повернення комети Галлея, що стало тріумфом науки XVIII ст.

Застосування похідної до розв'язування задач з фізики

Презентація "Застосування похідної" 

Матеріали по темі 

а) Знаходження екстремумів функції

б) Знаходження найменшого та найбільшого значення на відрізку

в) Побудова графіка функції

г) Дослідження функції на монотонність